题目内容
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
(2)求逆矩阵M－1以及椭圆
＝1在M－1的作用下的新曲线的方程．
（1）
（2）x2＋y2＝1.
【解析】由题意M＝
，
(1)由|M－λE|＝0得，λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2，
∴y＝0，取x＝1；当λ2＝3，
∴x＝0，取y＝1.
所以，特征值为2和3，特征值2对应的特征向量
，特征值3对应的特征向量.
(2)由逆矩阵公式得：M－1＝
，
设P(x0，y0)是椭圆
＝1上任意一点P在M－1下对应P′(x，y)，则
＝
，
∴
所以，椭圆
＝1在M－1的作用下的新曲线的方程为
x2＋y2＝1.
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