Question

函数y=

x2+5

x2+4

的最小值为多少？

Answer 1

分析：令

x2+4

=t，则t≥2，x²+4=t²．通过换元得到函数y=

x2+5

x2+4

=

t2+1

t

=t+

1

t

．再利用导数即可得出其单调性，进而得出最小值．

解答：解：令

x2+4

=t，则t≥2，x²+4=t²．
∴函数y=

x2+5

x2+4

=

t2+1

t

=t+

1

t

．
∴y′=1-

1

t2

=

t2-1

t

＞0，（t≥2）．
∴函数y=t+

1

t

在区间[2，+∞）是单调递增．
∴当t=2时，函数y=t+

1

t

取得最小值2+

1

2

=

5

2

．
因此函数y=

x2+5

x2+4

的最小值为

5

2

．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性及其最值是解题的关键．注意此题利用基本不等式的性质不好得出其最小值．