Question

有四个关于三角函数的命题：
P₁：?x∈R，sinx+cosx=2；　　　　　　　　　　　 P₂：?x∈R，sin2x=sinx；
；　 P₄：?x∈（0，π）sinx＞cosx．
其中真命题是

1. A.
   P₁，P₄
2. B.
   P₂，P₃
3. C.
   P₃，P₄
4. D.
   P₂，P₄

Answer 1

B
分析：根据三角函数的值域，可得命题P₁是假命题；根据特殊角的三角函数值，可得命题P₂是真命题而命题P₄是假命题；根据二倍角的余弦公式化简，并结合余弦的符号，得到命题P₃是真命题．由此得到本题的答案．
解答：因为sinx+cosx=sin（x+），所以sinx+cosx的最大值为，
可得不存在x∈R，使sinx+cosx=2成立，得命题P₁是假命题；
因为存在x=kπ（k∈Z），使sin2x=sinx成立，故命题P₂是真命题；
因为=cos²x，所以，结合x∈[-，]得cosx≥0
由此可得，得命题P₃是真命题；
因为当x=时，sinx=cosx=，不满足sinx＞cosx，
所以存在x∈（0，π），使sinx＞cosx不成立，故命题P₄是假命题．
故选：B
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的化简与求值、三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．