Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=

π

4

，PA⊥底面ABCD，PA=2，M为PA的中点，N为BC的中点．
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角A-PD-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PD的中点E，由M为PA的中点，N为BC的中点，能够导出四边形MNCE是平行四边形，由此能够证明MN∥平面PCD．
（Ⅱ）作AF⊥AD，交BC于F，分别以AF，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能够证明二面角A-PD-C的大小．

解答：（Ⅰ）证明：取PD的中点E，
∵M为PA的中点，N为BC的中点，
∴ME

∥

.

1

2

AD，NC

∥

.

1

2

AD，
∴ME

∥

.

NC，
∴四边形MNCE是平行四边形，
∴MN∥EC，
∵MN?平面PCD，EC?平面PCD，
∴MN∥平面PCD．
（Ⅱ）解：作AF⊥AD，交BC于F，
分别以AF，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0，0，0），BP（0，0，2），C（

2

2

，1-

2

2

，0），D（0，1，0），

AP

=(0，0，2)，

AD

=(0，1，0)，

PC

=(

2

2

，1-

2

2

，-2)，

PD

=(0，1，-2)，
设平面PAD的一个法向量为

m

=(x，y，z)，
则

AP

•

m

=0，

AD

•

m

=0，
∴

2z=0 y=0

，∴

m

=（1，0，0），
设平面PCD的法向量

n

=（x₁，y₁，z₁），
则

PC

•

n

=0，

PD

•

n

=0，
∴

2 2 x1+(1- 2 2 )y1-2z1=0 y1-2z1=0

，
∴

n

=(2，2，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2

3

．
∴二面角A-PD-C的大小为arccos

2

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，解题时要认真审题，合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．