Question

【题目】我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为 元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为 元（k为正常数）．

（1）试用x表示S，并求S的取值范围；
（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；
（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，

∴ ，

矩形AMPN的面积 ，x∈[10，20]，

由x（30﹣x）≤（ ）2=225，当x=15时，可得最大值为225 ，

当x=10或20时，取得最小值200 ，

于是 为所求．

（2）解：矩形AMPN健身场地造价T1= ，

又△ABC的面积为 ，即草坪造价T2= ，

由总造价T=T1+T2，

∴ ，

（3）解：∵ ，

当且仅当 即 时等号成立，

此时 ，解得x=12或x=18，

答：选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低

【解析】（1）根据题意，得到健身场地的面积，再结合矩形的面积计算公式求出面积，由二次函数的性质求得范围，（2）由三角形的面积和题意得到总造价，得到范围，（3）使用均值不等式得到造价最低时的x=12或x=18.
【考点精析】掌握函数的最值及其几何意义和函数的值是解答本题的根本，需要知道利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法．