Question

已知函数（a、b、c∈N）的图象按向量平移后得到的图象关于原点对称，且f（2）=2，f（3）＜3．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）设x是正实数，求证：[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

Answer 1

（Ⅰ）解：函数f（x）的图象按平移后得到的图象所对应的函数式为．
∵函数f（x）的图象平移后得到的图象关于原点对称，
∴f（-x+1）=-f（x+1），即．
∵a∈N，∴ax²+1＞0．∴-bx+c=-bx-c，∴c=0．
又∵f（2）=2，∴．∴a+1=2b，∴a=2b-1． ①
又．∴4a+1＜6b． ②
由①，②及a、b∈N，得a=1，b=1．
（Ⅱ）证明：n=1时，结论显然成立．
当n≥2时，
===．
分析：（Ⅰ）利用平移规律，可得，根据函数f（x）的图象平移后得到的图象关于原点对称，可得f（-x+1）=-f（x+1），从而可求c的值，根据f（2）=2，f（3）＜3，a、b∈N，可得a，b的值；
（Ⅱ）当n≥2时，利用二项展开式，再进行放缩，即可证得结论．
点评：本题考查函数解析式的确定，考查不等式的证明，考查函数的性质，同时考查二项式定理的运用，属于中档题．