Question

已知数{a_n}满足a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2）
①求证：数列{a_n+1}是等比数列．
②求a_n的表达式．
③若数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：①题目给出了数列的首项及递推式，求解通项公式时，首先把递推式变形，变为我们熟悉的数列，求出新数列的通项公式后再求原数列的通项，对于a_n+1=pa_n+q型的递推式，两边加上一个常数，一般能够构造成等比数列{a_n+x}．本题a_n=2a_n-1+1两边加上常数1，构造成等比数列{a_n+1}
②由①，求出数列{a_n+1}的通项公式，移向变形得出a_n的表达式．
③由②应得出a_n=2ⁿ-1．分组后分别运用等比、等差数列求和公式即可求得S_n．

解答：解：①由a_n=2a_n-1+1，两边加上常数1，可得a_n+1=2a_n-1+2=2（a_n-1+1），
故可得

an+1

an-1+1

=2，故数列{a_n+1}为公比为2的等比数列，
②数列{a_n+1}的首项为：a₁+1=2，由①可得数列{a_n+1}的通项公式为
a_n+1=2×2^n-1，所以a_n=2ⁿ-1．
③S_n=（2¹-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2¹+2²+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-2-n．

点评：本题考查利用数列递推公式求数列通项公式，考查等比、等差数列的通项公式及求和公式．对于a_n+1=pa_n+q型的递推式，一般能够造成{a_n+x}型的等比数列，属中档题．