Question

定义在R上的单调函数满足且对任意都有．

(1)求证为奇函数；

(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

 (1)证明：利用“赋值法”，确定f(0)=0，再

计算f(x)+f(-x)=0．

 (2) t=3＞0，换元后，问题等价于t-(1+k)t+2＞0

假设，当时，对任意恒成立．

【解析】

试题分析：

思路分析：(1)证明：利用“赋值法”，确定f(0)=0，再

计算f(x)+f(-x)=0．

 (2) t=3＞0，换元后，问题等价于t-(1+k)t+2＞0

假设，应用二次函数的图象和性质进一步求解。

 (1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)    (x，y∈R)， ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，

则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，

所以f(x)是奇函数．

 (2)解：＞0，即f(3)＞f(0)，又在R上是单调函数，

所以在R上是增函数

又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，

∴ k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．

令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0

对任意t＞0恒成立．

令，其对称轴

当即时，符合题意；

当时，对任意，恒成立

解得

综上所述，当时，对任意恒成立．

考点：函数的单调性，指数函数的性质，二次函数的图象和性质。

点评：中档题，本题涉及抽象函数问题，一般要考虑应用“赋值法”，确定所需数据。本题通过换元，将问题转化成二次函数的图象和性质应用问题，具有“化生为熟”的示范作用。