题目内容

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G、F分别是AD、PB的中点．
（I）求证：PA⊥CD；
（II）证明：GF⊥平面PCB；
（III）求二面角A-PB-C的大小．

解：（I）以D为原点建立空间直角坐标系则A（2，0，0）B（2，2，0）C（0，2，0）P（0，0，2）F（1，1，1）

$\text{[math]}$ =（2，0，-2） $\text{[math]}$ =（0，2，0） $\text{[math]}$ =0，∴ $\text{[math]}$ ∴PA⊥CD；
（Ⅱ）设G（1，0，0）则 $\text{[math]}$ =（0，-1，-1） $\text{[math]}$ =（2，0，0） $\text{[math]}$ =（0，2，-2）
又 $\text{[math]}$ ∴GF⊥平面PCB；

（Ⅲ）设平面PAB的一个法向量为n₁=（x，y，z）
又 $\text{[math]}$ =（0，2，0） $\text{[math]}$ =（2，0，-2）
$\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
令x=1，可得n₁=（1，0，1）
同理可求得平面PBC的一个法向量为
n₂=（0，-1，-1）
设二面角A-PB-C的大小为θ
则|cosθ|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵θ为钝角，∴二面角A-PB-C的大为120°
分析：（I）以D为原点建立空间直角坐标系，利用 $\text{[math]}$ 证得PA⊥CD；
（Ⅱ）利用 $\text{[math]}$ 去证GF⊥平面PCB
（Ⅲ）求出平面PAB，平面PCB的一个法向量，利用两法向量的夹角间接求二面角A-PB-C的大小
点评：本题考查线面、面面位置关系，二面角求解．借助于空间向量的运算，降低了思维难度，增加了解题方法．