Question

【题目】已知点P为函数f（x）=lnx的图象上任意一点，点Q为圆[x﹣（e+ ）]2+y2=1任意一点，则线段PQ的长度的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.e+ ﹣1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e+ ，0） 到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值．
设f（x）图象上一点（m，lnm），
由f（x）的导数为f′（x）= ，
即有切线的斜率为k= ，
可得 =﹣m，
即有lnm+m2﹣（e+ ）m=0，
由g（x）=lnx+x2﹣（e+ ）x，可得g′（x）= +2x﹣（e+ ），
当2＜x＜3时，g′（x）＞0，g（x）递增．
又g（e）=lne+e2﹣（e+ ）e=0，
可得x=e处点（e，1）到点Q的距离最小，且为 ，
则线段PQ的长度的最小值为为 ﹣1，即 ．
故选：C．
由圆的对称性可得只需考虑圆心Q（e+ ，0）到函数f（x）=lnx图象上一点的距离的最小值．设f（x）图象上一点P（m，lnm），求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得lnm+m2﹣（e+ ）m=0，由g（x）=lnx+x2﹣（e+ ）x，求出导数，判断单调性，可得零点e，运用两点的距离公式计算即可得到所求值．