Question

已知f(x)=

(sinx+cosx)2

2+2sin2x-cos22x

．
（1）求f（x）的定义域、值域；
（2）若f（x）=2，-

π

4

＜x＜

3π

4

，求x的值．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函数公式得f(x)=

1+sin2x

(sin2x+1)2

=

1

1+sin2x

；再利用分母不为0求出定义域，利用正弦函数的函数值求出函数的值域；
（2）由f（x）=2，所以

1

1+sin2x

=2，sin2x=-

1

2

，再利用-

π

4

＜x＜

3π

4

，求出-

π

2

＜2x＜

3π

2

，两则相结合即可求出结果．

解答：解：f(x)=

1+sin2x

(sin2x+1)2

=

1

1+sin2x

（4分）
（1）因为1+sin2x≠0所以sin2x≠-1，2x≠2kπ-

π

2

（k∈Z），x≠kπ-

π

4

（k?Z）．
又0＜1+sin2x≤2，所以f(x)≥

1

2

．
所以定义域为{x|x≠kπ-

π

4

，k∈Z}，值域为：{y|y≥

1

2

}（4分）
（2）因为f（x）=2，所以

1

1+sin2x

=2，sin2x=-

1

2

因为-

π

4

＜x＜

3π

4

所以-

π

2

＜2x＜

3π

2

所以2x=-

π

6

或2x=

7π

6

所以x=-

π

12

或x=

7π

12

（6分）

点评：本题主要考查三角函数中的恒等变换应用以及正弦函数的定义域和值域和利用正弦函数的单调性求值．在求函数定义域时，如果原题中带分母，一定注意分母不为0．