Question

设圆O的半径为2，点P为圆周上给定一点，如图所示，放置边长为2的正方形ABCD（实线所示，正方形的顶点A与点P重合，点B在圆周上）．现将正方形ABCD沿圆周按顺时针方向连续滚动，当点A首次回到点P的位置时，点A所走过的路径的长度为（　　）

• A、4π
• B、(3+

  2

  2

  )π
• C、(1+2

  2

  )π
• D、(2+

  2

  )π

Answer 1

分析：根据题意可画出正方形旋转的过程中顶点落在圆上的次序，由图易得当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，计算每次的路程，求和即可．

解答：解：∵圆O的半径r=2，正方形ABCD的边长a=2，
∴以正方形的边为弦时所对的圆心角为

π

3

，
正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，
∴当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，
设第i次滚动，点A的路程为A_i，
则A1=

π

6

×|AB|=

π

3

，
A2=

π

6

×|AC|=

2 2 π

6

，
A3=

π

6

×|DA|=

π

3

，
A₄=0，
∴点A所走过的路径的长度为3(A1+A2+A3+A4)=(2+

2

)π．
故选：D．

点评：本题考查了圆的性质的灵活应用，和弧长公式的应用．以及分析问题数据和处理数据的能力，属于中档题．