Question

已知棱台ABCD-A′B′C′D′及其三视图尺寸如图所示，P、Q分别为B'B，CB的中点．
（1）填写棱台各顶点字母，并证明：PQ∥平面AA′D′D；
（2）求二面角B-DD′-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）根据翻折前后变与不变标出字母，欲证PQ∥平面A'ADD'，根据线面平行的判定定理可知只需PQ与平面A'ADD'内一直线平行即可，连接B'C、PQ，则PQ∥B'C，根据A'B'CD为矩形，则B'C∥A'D，从而PQ∥A'D又PQ?平面A'ADD'，A'D?平面A'ADD'，满足定理所需条件；
（2）延长DD'，AA'，BB'交于一点G，作A'H⊥D'D于H，连接HB'，根据二面角平面角的定义可知∠B'HA'为二面角B-DD'-A的平面角，在Rt△B'HA'中，求出此角，即可求出二面角B-DD'-A的正切值．

解答：证明：（1）字母如图所示．（2分）
∵梯形A'ADD'、A'ABB'、A'B'C'D'、ABCD均为直角梯形，
且A′B′=DC=

1

2

AB=8，2D'C'=A'B'=DC
连接B'C、PQ，则PQ∥B'C，又∵A'B'∥DC，且A'B'=DC，∴A'B'CD为矩形
∴B'C∥A'D，∴PQ∥A'D又PQ?平面A'ADD'，A'D?平面A'ADD'
∴PQ∥平面A'ADD'．（6分）

（2）延长DD'，AA'，BB'交于一点G，
∵B'A'⊥面ADG，作A'H⊥D'D于H，连接HB'，则HB'⊥DD'
则∠B'HA'为二面角B-DD'-A的平面角．（9分）
在Rt△D'A'G中，易得A'G=12，A'D'=5
∴

1

2

×A′H×D′G=

1

2

×5×12，即A′H=

60

13

∴tan∠B′HA′=

A′B′

A′H

=

26

15

．即二面角B-DD'-A的正切值为

26

15

．（13分）

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及二面角的度量，同时考查了空间想象能力、推理能力和计算能力，属于中档题．