题目内容
已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，
，
（Ⅰ）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解？
，（Ⅰ）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解？
解：（Ⅰ）∵f（x）是x∈R上的奇函数，
∴f（0）=0，
设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），
，
∴
，
。
（Ⅱ）设
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴f（x）在（0，1）上为减函数。
（Ⅲ）∵f（x）在（0，1）上为减函数，
∴
，
同理，f（x）在（-1，0）上时，
，
又f（0）=0，
当
时，
方程f（x）=λ在x∈（-1，1）上有实数解。
∴f（0）=0，
设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），
，∴
，。（Ⅱ）设
，，∵
，∴
，∴
，∴f（x）在（0，1）上为减函数。
（Ⅲ）∵f（x）在（0，1）上为减函数，
∴
，同理，f（x）在（-1，0）上时，
，又f（0）=0，
当
时，方程f（x）=λ在x∈（-1，1）上有实数解。
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