Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-x．
（1）若不等式f（x）＜k-2005对于x∈[-2，3]恒成立，求最小的正整数k；
（2）令函数g(x)=f(x)-

1

2

ax2+x(a≥2)，求曲线y=g（x）在（1，g（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．

Answer 1

（1）∵函数f(x)=

1

3

x3-x，
∴f′（x）=x²-1，
令f′（x）=0，得x=±1，
当x∈[-2，-1]时，f′（x）＞0，f（x）递增，
∴f（-2）=

1

3

×（-2）³-（-2）=-

2

3

，f（-1）=-

1

3

+1=

2

3

．
当x∈[-1，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减，f（1）=

1

3

-1=-

2

3

，
当x∈[1，3]时，f′（x）＞0，f（x）递增，f（3）=

27

3

-3=6．
∴f（x）在x∈[-2，-1]上的最大值为f（3）=6，
要使得不等式f（x）＜k-2005对于x∈[-2，3]恒成立，
则6＜k-2005恒成立，解得k＞2011，
所以最小的正整数k为2012．
（2）∵g（x）=f（x）-

1

2

ax2+x=

x3

3

-

ax2

2

，
∴g′（x）=x²-ax，g（1）=

1

3

-

a

2

，
y=g（x）在（1，g（1））处的切线的斜率为g′（1）=1-a，
故切线方程为y-（

1

3

-

a

2

）=（1-a）（x-1），
化简得y-（1-a）x+

2

3

-a=0，与坐标轴的交点为（0，

2

3

-

a

2

），（

2 3 - a 2

1-a

，0），
又∵a≥2，∴

2

3

-

a

2

＜0，

2 3 - a 2

1-a

＞0，
所以面积S=

1

2

×(

a

2

-

2

3

)×

2 3 - a 2

1-a

=

1

2(a-1)

（

a

2

-

2

3

）²，
∵S为递增函数，
∴当a=2时，面积S_min=

1

2

×(1-

2

3

)2=

1

18

．