Question

已知等比数列{a_n}的公比q＞1，且a₁与a₄的一等比中项为4

2

，a₂与a₃的等差中项为6．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n=S_n+3+（-1）ⁿ⁺¹a_n²（n∈N^*），请比较b_n与b_n+1的大小；
（Ⅲ）数列{a_n}中是否存在三项，按原顺序成等差数列？若存在，则求出这三项；若不存在，则加以证明．

Answer 1

分析：（I）由题意得

a2a3=a1•a4=(4 2 )2=32 a2+a3=2×6=12

，解此方程组能够推导出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）a₁=2，Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2，b_n=S_n+3+（-1）ⁿa_n²=（2ⁿ⁺⁴-2）+（-1）ⁿ⁺¹2²ⁿ，b_n+1=（2ⁿ⁺⁵-2）+（-1）ⁿ2^2（n+1），
b_n+1-b_n=2ⁿ[16+5（-1）ⁿ2ⁿ]．由此能够推导出b_n+1＜b_n．
（Ⅲ）假设数列{a_n}中存在三项a_k，a_m，a_n（k＜m＜n）成等差数列，则a_k+a_n=2a_m，由k＜m＜n知1+2^n-k为奇数，2^m-k为偶数，从而某奇数=某偶数，产生矛盾．所以数列{a_n}中不存在三项，按原顺序成等差数列．

解答：解：（I）由题意得

a2a3=a1•a4=(4 2 )2=32 a2+a3=2×6=12

，
解得

a2=4 a3=8

或

a2=8 a3=4

-（2分）
由公比q＞1，可得a₂=4，a₃=8，q=

a3

a2

=2．（3分）
故数列{a_n}的通项公式为a_n=a₂q^n-2=2ⁿ．（5分）

（Ⅱ）a₁=2，Sn=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2，（6分）
b_n=S_n+3+（-1）ⁿa_n²=（2ⁿ⁺⁴-2）+（-1）ⁿ⁺¹2²ⁿ，
b_n+1=（2ⁿ⁺⁵-2）+（-1）ⁿ2^2（n+1），
b_n+1-b_n=2ⁿ[16+5（-1）ⁿ2ⁿ]．（8分）
当n=1或为正偶数时，b_n+1-b_n＞0，b_n+1＞b_n；-（9分）
当n正奇数且n≥3时，b_n+1-b_n=2ⁿ（16-5×2ⁿ）≤2ⁿ（16-5×2³）＜0，b_n+1＜b_n．（10分）
（Ⅲ）假设数列{a_n}中存在三项a_k，a_m，a_n（k＜m＜n）成等差数列，（11分）
则a_k+a_n=2a_m，即2^k+2ⁿ=2^m，1+2^n-k=2^m-k，（12分）
由k＜m＜n知1+2^n-k为奇数，2^m-k为偶数，从而某奇数=某偶数，产生矛盾．（13分）
所以数列{a_n}中不存在三项，按原顺序成等差数列．（14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．