题目内容
已知定义域为R的函数f（x）存在反函数f-1（x），且对于任意的x∈R，恒有f（x）+f（-x）=1，则f-1（2010-x）+f-1（x-2009）=（ ）A．0
B．2
C．3
D．与x有关
【答案】分析：注意（2010-x ）与 （x-2009）的和等于1，若（2010-x ）与 （x-2009）一个是m，则另一个是1-m，令 f（t）=m，f（-t）=n，再应用反函数的定义解出 t 和-t即可得．
解答：解：∵f（x）+f（-x）=1，
令 2010-x=m，x-2009=n，∴m+n=1，
∴可令 f（t）=m，f（-t）=n，由反函数的定义知，
∴t=f-1（m），-t=f-1（n）
∴f′（m）+f′（n）=0，
即：f-1（2010-x）+f-1（x-2009）的值是0，
故选A．
点评：本题考查反函数的定义、函数的对称性，考查了换元的数学思想，属于基础题．
解答：解：∵f（x）+f（-x）=1，
令 2010-x=m，x-2009=n，∴m+n=1，
∴可令 f（t）=m，f（-t）=n，由反函数的定义知，
∴t=f-1（m），-t=f-1（n）
∴f′（m）+f′（n）=0，
即：f-1（2010-x）+f-1（x-2009）的值是0，
故选A．
点评：本题考查反函数的定义、函数的对称性，考查了换元的数学思想，属于基础题．
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