Question

如图，已知，（a＞c），且，，C为动点．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程；
（2）若点P的轨迹上存在两个不同的点E、F，且线段EF的中垂线与AB（或AB的延长线）相交于一点Q，求出点Q的活动范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，根据向量关系，结合线段中垂线性质，研究出==2a＞2c，得知点P是以A，B为焦点，长轴长为2a的椭圆，可写出其轨迹方程．
 （2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），Q（x，0），得出 x=，再根据-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a求出|x|＜．点在与AB中点相距 的线段上活动（不包括两端点）．
解答：解：如图，以A，B所在直线为x轴，A，B的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．由题设，2，=0，
∴|．
而==2a＞2c
∴点P是以A，B为焦点，长轴长为2a的椭圆．即=1
（2）设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），Q（x，0）
x₁≠x₂，
即（x₁-x）2+y₁²=（x₂-x）²+y₂^{2 ①}
又E，F在轨迹上，∴=1，=1
 将y₁²，y₂² ，代入①式整理，得
2（x₂-x₁）═（x₂-x₁）²•       
∵x₁≠x₂，∴x=
-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，
-2a＜x₁+x₂ ＜2a
-＜x＜．
即|x|＜．
∴点在与AB中点相距 的线段上活动（不包括两端点）．
点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系．（1）中得出而==2a＞2c （2）中得出 x=是关键．考查解析法的思想、计算能力．