Question

已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ与圆O相切；
（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为，所以c=1，由此能得到椭圆C的标准方程．
（2）因为P（1，1），所以，所以k_OQ=-2，所以直线OQ的方程为y=-2x．再由椭圆的左准线方程为x=-2，能够证明直线PQ与圆O相切．
（3）当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切．设P（x，y）（），则y²=2-x²，
所以，，所以直线OQ的方程为，由此知直线PQ始终与圆O相切．
解答：解：（1）因为，所以c=1（2分）
则b=1，即椭圆C的标准方程为（4分）
（2）因为P（1，1），所以，
所以k_OQ=-2，所以直线OQ的方程为y=-2x（6分）
又椭圆的左准线方程为x=-2，所以点Q（-2，4）（7分）
所以k_PQ=-1，又k_OP=1，所以k_OP⊥k_PQ=-1，即OP⊥PQ，
故直线PQ与圆O相切（9分）
（3）当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切（10分）
证明：设P（x，y）（），则y²=2-x²，
所以，，
所以直线OQ的方程为（12分）
所以点Q（-2，）（13分）
所以，
又，
所以k_OP⊥k_PQ=-1，即OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆O相切（15分）
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．