Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列．（1）求∠B的范围；（2）求y=2sin²B+sin（2B+

π

6

）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为a，b，c成等比数列，所以b²=ac．根据余弦定理，得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

．
由此能求出∠B的范围．
（2）y=2sin²B+sin（2B+

π

6

）=1-cos2B+sin2Bcos

π

6

+cos2Bsin

π

6

=1+sin（2B-

π

6

）．由此能求出y=2sin²B+sin（2B+

π

6

）的取值范围．

解答：解：（1）因为a，b，c成等比数列，所以b²=ac．
根据余弦定理，得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

．
又因为0＜B＜

π

2

，所以0＜B≤

π

3

．
所以∠B的范围是（0，

π

3

]．
（2）y=2sin²B+sin（2B+

π

6

）=1-cos2B+sin2Bcos

π

6

+cos2Bsin

π

6

，
=1+sin2Bcos

π

6

-cos2Bsin

π

6

=1+sin（2B-

π

6

）．
因为0＜B≤

π

3

，所以-

π

6

＜2B-

π

6

≤

π

2

，
所以-

1

2

＜sin（2B-

π

6

）≤1，所以

1

2

＜y≤2．
所以y=2sin²B+sin（2B+

π

6

）的取值范围是（

1

2

，2]．

点评：本题考查数列和三角函数的综合，解题时要认真审题，注意挖掘三角函数的恒等变换．