题目内容

已知函数f(x)=x2+2x，数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn(n，Sn)都在函数图象上，且过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为

    (Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

    (Ⅱ)若bn=2kn·an，求数列{bn}的前n项和Tn.

答案：解：(Ⅰ)∵点Pn(n，Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上，∴Sn=n2+2n，

当n=1时，a1=S1=3；  (3分)  当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n(n-1)2-2(n-1)2n+1，

当n=1时，也满足，故an=2n+1． 

(Ⅱ)由f(x)=x2+2x，求导可得f′(x)=2x+2，

∵过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn

∴kn=2n+2．  又∵bn=2kn·an，

∴bn=22n+2·(2n+1)=4(2n+1)·4n． 

∴Tn=4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4(2n+1)·4n  ①

由①×④可得：4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4(2n+1)·4n+1  ②

①-②可得：-3Tn=4×[3×4+2·(42+43+…+4n)-(2n+1)·4n+1] 

=4×[3×4+2×-(2n+1)·4n+1]

∴Tn=·4n+2．

练习册系列答案
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已知函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

已知函数f(x)的图像在[a，b]上连续不断，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f(x)为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)＝x2，x∈[－1，4]为[－1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的值是_________．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f（x）、g（x），下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数，g（x）是奇函数，则f（x）+g（x）是奇函数
B．f（x）是偶函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）是偶函数
C．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）一定是奇函数或偶函数
D．f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则f（x）+g（x）可以是奇函数或偶函数

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