Question

已知数列{a_n}满足：a1=

1

2

，

3(1-an+1)

1-an

=

2(1+an)

1+an+1

（n∈N^*），数列{b_n}=1-{a_n}²（n∈N^*），数列{c_n}_^={a_n+1}²-{a_n}²
（n∈N^*）．
（1）证明数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{c_n}的通项公式；
（3）是否存在数列c_n的不同项c_i，c_j，c_k（i＜j＜k），使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项c_i，c_j，c_k（i＜j＜k）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知a_n≠±1，b_n≠0，b1=

3

4

，3（1-a_n+1²）=2（1-a_n²），a_n+1²=

1

3

+

2

3

a_n²，

bn+1

bn

=

2

3

(n∈N*)，由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（2）由bn=

3

4

•(

2

3

)n-1(n∈N*)，知an2=1-bn=1-

3

4

•(

2

3

)n-1(n∈N*)，由此能求出{c_n}的通项公式．
（3）假设存在c_i，c_j，c_k满足题意成等差2c_j=c_i+c_k代入得2•

1

4

•(

2

3

)j-1=

1

4

•(

2

3

)i-1+

1

4

•(

2

3

)k-1，左偶右奇不可能成立．所以假设不成立，故这样三项不存在．

解答：解：（1）由已知a_n≠±1，b_n≠0（n∈N^*）b1=

3

4

，3（1-a_n+1²）=2（1-a_n²）
a_n+1²=

1

3

+

2

3

a_n²，

bn+1

bn

=

2

3

(n∈N*)
所以{b_n}是

3

4

为首项，

2

3

为公比的等比数列
（2）bn=

3

4

•(

2

3

)n-1(n∈N*)an2=1-bn=1-

3

4

•(

2

3

)n-1(n∈N*)cn=an+12-an2=

1

4

•(

2

3

)n-1(n∈N*)
（3）假设存在c_i，c_j，c_k满足题意成等差2c_j=c_i+c_k代入得2•

1

4

•(

2

3

)j-1=

1

4

•(

2

3

)i-1+

1

4

•(

2

3

)k-1

2j-i+1=3j-i+2k+j-i 2j-i+1-2k+j-i=3j-i

，左偶右奇不可能成立．所以假设不成立，这样三项不存在．

点评：本题考查等比数列的证明、求解数列通项公式的方法和等差中项的综合运用，解题时要认真审题，仔细思考，注意合理地进行等价转化．