Question

已知函数f（x）=ax²+a²x+2b-a³，当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设F(x)=-

k

4

f(x)+4(k+1)x+2(6k-1)，则当k 取何值时，函数F（x）的值恒为负数？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数解析式，结合当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（-2，6）时，f（x）＞0，可得参数a，b的关系式，从而可求a、b的值；
（Ⅱ）欲使F（x）＜0恒成立，只要使kx²+4x-2＜0恒成立，对k讨论，即可求得函数F（x）的值恒为负数时k的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，∵f（x）=ax²+a²x+2b-a³
又x∈（-2，6），f（x）＞0；x∈（-∞，-2）∪（6，+∞），f（x）＜0．
∴-2和6是方程ax²+a²x+2b-a³=0的两根．
故

-2+6=-a -2×6= 2b-a3 a

解得 

a=-4 b=-8

此时，f（x）=-4x²+16x+48
（Ⅱ）∵F(x)=-

k

4

(-4x2+16x+48)+4(k+1)+2(6k-1)=kx2+4x-2
∴欲使F（x）＜0恒成立，只要使kx²+4x-2＜0恒成立，则须要满足：
①当k=0时，原不等式化为4x-2＜0，显然不合题意，舍去．
②当k≠0时，要使二次不等式的解集为x∈R，则必须满足：

k＜0 △=42-4k×(-2)＜0

，解得k＜-2
综合①②得k的取值范围为（-∞，-2）．

点评：本题考查不等式的解集与方程解的关系，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，求得函数的解析式是关键．