Question

已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|；
（Ⅰ）求不等式f（x）≥3的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式在f（x）≥a²-a上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）通过对x与±1的关系分类讨论即可去掉绝对值符号，解出即可；
（II）由（I）可知：在R上f（x）的最小值，而关于x的不等式在f（x）≥a²-a上恒成立?a²-a≤[f（x）]_min．解出即可．

解答：解：（I）∵f（x）=

-2x，x≤-1 2，-1＜x≤1 2x，x＞1

，
∴f（x）≥3等价于

x≤-1 -2x≥3

或

-1＜x≤1 2≥3

或

x＞1 2x≥3

，
解得x≤-

3

2

，∅，x≥

3

2

．
故不等式f（x）≥3的解集是{x|x≤-

3

2

或x≥

3

2

}．
（II）由（I）可知：在R上，[f（x）]_min=2．
∴关于x的不等式在f（x）≥a²-a上恒成立?a²-a≤[f（x）]_min=2．
∴a²-a-2≤0，解得-1≤a≤2．
∴实数a的取值范围是[-1，2]．

点评：熟练掌握分类讨论方法解含绝对值符号的不等式、恒成立问题等价转化方法等是解题的关键．