题目内容
已知函数f(x)=x-
，f(2)=
，x∈（0，+∞）．
（1）求m的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
| 1 |
| xm |
| 3 |
| 2 |
（1）求m的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数．
分析：（1）由 f(2)=
可得 2-
=
，由此解得m的值．
（2）f（x）=x-
，设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，化简 f（x1）-f（x2） 并判断符号，从而判断函数的单调性．
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2m |
| 3 |
| 2 |
（2）f（x）=x-
| 1 |
| x |
解答：解：（1）∵函数f(x)=x-
，f(2)=
，x∈（0，+∞），
∴2-
=
，
解得 m=1．------（2分）
（2）由于 m=1，故f（x）=x-
．
设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
∵f（x1）-f（x2）=（x1-
）-（x2-
）=（x1-x2 ）（
-
）------（4分）
=(x1-x2)×(1+
)．-------（6分）
∵x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
∴(1+
)＞0，可得(x1-x2)×(1+
)＜0，-----（8分）
所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．-----------（10分）
| 1 |
| xm |
| 3 |
| 2 |
∴2-
| 1 |
| 2m |
| 3 |
| 2 |
解得 m=1．------（2分）
（2）由于 m=1，故f（x）=x-
| 1 |
| x |
设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
∵f（x1）-f（x2）=（x1-
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
=(x1-x2)×(1+
| 1 |
| x1x2 |
∵x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，
∴(1+
| 1 |
| x1x2 |
| 1 |
| x1x2 |
所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．-----------（10分）
点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明方法，其中判断f（x1）-f（x2）的符号是解题的关键，属于中档题．
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