Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=

n+1

n

a_n，T_n为数列{c_n}的前n项和，试比较T_n与

5n

2n+1

的大小．

Answer 1

（1）由题意知a₁=-a₁-1+2，∴a1=

1

2

．
当n≥2时，Sn-1=-an-1-(

1

2

)n-2+2，
∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1+(

1

2

)n-1．
∴2an=an-1+(

1

2

)n-1，即2ⁿ•a_n=2^n-1a_n-1+1，
设b_n=2ⁿa_n，则b_n-b_n-1=1，
∵b₁=2a₁=1，∴b_n=1+（n-1）=n=2ⁿa_n，
∴an=

n

2n

．
（2）由（1）得cn=

n+1

n

an=(n+1)(

1

2

)n，
∴Tn=2×

1

2

+3× (

1

2

)2 +4×(

1

2

)3+…+(n+1)×(

1

2

)n，①

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4+…+n(

1

2

)n+(n+1)(

1

2

)n+1②
①-②得

1

2

Tn=1+ (

1

2

)2 +(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(n+1)(

1

2

)n+1
=

3

2

-

n+3

2n+1

，
∴Tn=3-

n+3

2n

．
T_n-

5n

2n+1

=

(n+3)(2n-2n-1)

2n(2n+1)

．
于是确定T_n与

5n

2n+1

的大小等价于比较2ⁿ与2n+1的大小，
由2＜2×1+1，2²＜2×2+1，2³＞2×3+1，2⁴＞2×4+1，
可猜想当n≥3时，2ⁿ＞2n+1，证明如下．
（1）当n=3时，2³＞2×3+1，猜想成立．
（2）假设当n=k时，猜想成立，即2^k＞2k+1．
当 n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）-1．
所以，当n=k+1时，猜想也成立．
综合（1）（2）可知，对一切n≥3的正整数，都有2ⁿ＞2n+1．
∴当n=1，2时，T_n＜

5n

2n+1

．当n≥3时，T_n≥

5n

2n+1

．