题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
3
2
，直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求该椭圆方程．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∵e=
3
2
，∴
c
a
=
3
2
，∴a2=
4
3
c2=b2+c2，∴a2=4b2．
设椭圆方程
x2
4b2
+
y2
b2
=1，
联立
x+y+1=0
x2
4b2
+
y2
b2
=1
消y得5x2+8x+4-4b2=0，
∵直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点，∴△=64-4×5×（4-4b2）＞0，化为5b3＞1．
∴
x1+x2=-
8
5
x1•x2=
4-4b2
5
（*）
∵OP⊥OQ，∴
OP
•
OQ
=0，
∴x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（x1+1）（x2+1）=0．
∴2x1x2+x1+x2+1=0，
把（*）代入可得2
4-4b2
5
+（-
8
5
）+1=0，
解得b2=
5
8
，∴b=
10
4
．满足△＞0．∴b2=
5
8
．
∴a2=
5
2
．
∴椭圆方程为
x2
5
2
+
y2
5
8
=1．
练习册系列答案
相关题目
如图，椭圆C：x2+3y2=3b2（b＞0）．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若b=1，A，B是椭圆C上两点，且|AB|=
3
，求△AOB面积的最大值．
在椭圆
x2
16
+
y2
9
=1内，有一内接三角形ABC，它的一边BC与长轴重合，点A在椭圆上运动，则△ABC的重心的轨迹方程为______．
过双曲线x2-y2=1上一点Q作直线x+y=2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为（　　）
A．2x2-2y2-2x-1=0B．x2+y2=1
C．2x2+2y2-y=0D．2x2-2y2-2x+2y-1=0
已知直线x-y+1=0经过椭圆S：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点．
（1）求椭圆S的方程；
（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．
①若直线PA平分线段MN，求k的值；
②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．
如图，已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）其右准线交x轴于点A，双曲线虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，若点D满足：2
OD
=
OF
+
OP
（O为原点）且
AB
=λ
AD
(λ≠0)
（1）求双曲线的离心率；
（2）若a=2，过点B的直线l交双曲线于M、N两点，问在y轴上是否存在定点C，使?
CM
•
CN
为常数，若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线C：x2=2py（p＞0）与圆O：x2+y2=8相交于A、B两点，且
OA
•
OB
=0（O为坐标原点），直线l与圆O相切，切点在劣弧AB（含A、B两点）上，且与抛物线C相交于M、N两点，d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值时直线l的方程．
已知抛物线x2=4
3
y的准线过双曲线
x2
m2
-y2=-1的一个焦点，则双曲线的离心率为（　　）
A．
3
2
4
B．
6
2
C．
3
D．
3
3
[理]如图，已知动点A，B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的实线上运动，若AB∥x轴，点N的坐标为（1，0），则△ABN的周长l的取值范围是______．
[文]点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则P到直线y=x-2的距离的最小值是______．

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