Question

（2009•昆明模拟）甲、乙两人进行某种比赛，各局胜负相互独立，约定每局胜者得1分，负者得0分，无平局，比赛进行到有一人比对方多2分时结束，已知甲在每局中获胜的概率均为P（其中P＞

1

2

）．赛完后两局比赛结束的概率为

5

9

．
（I）求P；
（II）求赛完四局比赛结束且乙比甲多2分的概率．

Answer 1

分析：设事件A_i表示“甲第i局获胜”，事件B_i表示“乙第i局获胜”，则P（A_i）=p，P（B_i）=1-p
（I）设“赛完两局比赛结束”为事件C，P（C）=P（A₁•A₂+B₁•B₂），利用相互独立事件的概率公式，结合赛完后两局比赛结束的概率为

5

9

，建立方程，可求p；
（II）设“赛完四局比赛结束且乙比甲多2分”为事件D，则D=B₁•A₂•B₃•B₄+A₁•B₂•B₃•B₄，利用相互独立事件的概率公式，可得结论．

解答：解：设事件A_i表示“甲第i局获胜”，事件B_i表示“乙第i局获胜”，则P（A_i）=p，P（B_i）=1-p
（I）设“赛完两局比赛结束”为事件C，则C=A₁•A₂+B₁•B₂，则P（C）=

5

9

即P（A₁•A₂+B₁•B₂）=P（A₁•A₂）+P（B₁•B₂）=

5

9

所以p²+（1-p）²=

5

9

，所以p2-p+

2

9

=0，解得p=

1

3

或

2

3

因为p＞

1

2

，所以p=

2

3

； （6分）
（II）设“赛完四局比赛结束且乙比甲多2分”为事件D，
则D=B₁•A₂•B₃•B₄+A₁•B₂•B₃•B₄，
∴P（D）=P（B₁•A₂•B₃•B₄+A₁•B₂•B₃•B₄）=

1

3

×

2

3

×

1

3

×

1

3

+

2

3

×

1

3

×

1

3

×

1

3

=

4

81

  （12分）

点评：本题考查概率的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．