题目内容

已知函数f（x）asinxcosx+4cos²x，x∈R，f $数学公式$ ．
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和最大值．

解：（Ⅰ）依题意，f（ $\text{[math]}$ ）=asin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ +4 $\text{[math]}$ =6，即a× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +4× $\text{[math]}$ =6…（3分），
解得a=4 $\text{[math]}$ ；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）=4 $\text{[math]}$ sinxcosx+4cos²x
=2 $\text{[math]}$ sin2x+2（cos2x+1）
=4sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+2，…（9分）
∴f（x）的最小正周期T= $\text{[math]}$ =π，最大值M=4+2=6…（12分）
分析：（Ⅰ）由f（ $\text{[math]}$ ）=asin $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ +4 $\text{[math]}$ =6可求得a；
（Ⅱ）将f（x）化简为f（x）=4sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+2，即可求函数f（x）的最小正周期和最大值．
点评：本题考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的定义域和值域，掌握辅助角公式将f（x）化简为f（x）=4sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+2是关键，属于基础题．