Question

已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（1）若(

OA

+

OC

)2=7（O为原点），求向量

OB

与

OC

夹角的大小；
（2）若

AC

⊥

BC

，求sin2α的值．

Answer 1

分析：（1）首先根据(

OA

+

OC

)2=7，求出cosα，再根据向量的积求出夹角即可．
（2）先表示出向量AC和BC，然后根据向量垂直的条件得出，

AC

•

BC

=0，从而求出cosα+sinα=

1

2

，然后得出它的平方，进而求得sin2α．

解答：解：（1）∵

OA

+

OC

=(2+cosα，sinα)，(

OA

+

OC

)2=7，
∴（2+cosα）²+sin²α=7，
∴cosα=

1

2

．
又B（0，2），C（cosα，sinα），设

OB

与

OC

的夹角为θ，
则：cosθ=

OB • OC

| OB || OC |

=

2sinα

2

=sinα=±

3

2

，
∴

OB

与

OC

的夹角为

π

6

或

5

6

π．
（2）解：∵

AC

=(cosα-2，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-2)，
由

AC

⊥

BC

，∴

AC

•

BC

=0，
可得cosα+sinα=

1

2

，①
∴(cosα+sinα)2=

1

4

，∴2sinαcosα=-

3

4

，sin2α=-

3

4

点评：本题考查了二倍角的正弦，向量垂直的条件等知识，熟练掌握相关公式是解题的关键，属于基础题．