Question

正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=16，且a₂，a₃的等差中项为S₂．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

n

a2n-1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）由题意可得，a₂+a₃=2S₂=2a₁+2a₂
∴

a1q3=16 a1q+a1q2=2a1(1+q)

∵q＞0
解方程可得，a₁=2，q=2
∴an=2n
（2）∵b_n=

n

a2n-1

=

n

22n-1

∴T_n=

1

2

+

2

23

+…+

n

22n-1

Tn

4

=

1

23

+

2

25

+…+

n-1

22n-1

+

n

22n+1

两式相减可得，

3Tn

4

=

1

2

+

1

8

+…+

1

22n-1

-

n

22n+1

=

(1- 1 4n )× 1 2

1- 1 4

-

n

22n+1

=

2- 2 22n

3

-

n

22n+1

∴T_n=

8- 16 22n

9

-

4n

6×22n