Question

已知定义在R上的函数f（x），满足f（-x）=-f（x），f（x-3）=f（x），当x∈（0，

3

2

）时，f（x）=ln（x²-x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（　　）

Answer 1

分析：由f（x）=ln（x²-x+1）=0，先求出当x∈（0，

3

2

）时的零点个数，然后利用周期性和奇偶性判断f（x）在区间[0，6]上的零点个数即可．

解答：解：∵f（-x）=-f（x），
∴函数为奇函数，
∴在[0，6]上必有f（0）=0．
当x∈（0，

3

2

）时，由f（x）=ln（x²-x+1）=0得x²-x+1=1，
即x²-x=0．解得x=1．
∵f（x-3）=f（x），
∴函数是周期为3的奇函数，
∴f（0）=f（3）=f（6）=0，此时有3个零点0，3，6．
又f（1）=f（4）=f（-1）=f（2）=f（5）=0，此时有1，2，4，5四个零点．
当x=

3

2

时，f（

3

2

）=f（

3

2

-3）=f（-

3

2

）=-f（

3

2

），
∴f（

3

2

）=0，
即f（

3

2

）=f（

3

2

+3）=f（

9

2

）=0，
此时有两个零点

3

2

，

9

2

．
∴共有9个零点．
故选D．

点评：本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点个数即可，综合性较强．