Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=，E为线段AB的中线，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面ADE⊥平面BCD，F为线段AC的中点。
（1）求证：BF∥平面A′DE；
（2）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面ADE所成角的余弦值。

Answer 1

解：（1）取A′D的中点G，连结GF，CE，
由条件易知FG∥CD，FG=CD，
BE∥CD，BE=CD，
所以FG∥BE，FG=BE，
故四边形BEGF为平行四边形，
所以BF∥EG，
因为平面A′DE，BF平面A′DE，
所以 BF//平面A′DE；
（2）在平行四边形，ABCD中，设BC=a ，则AB=CD=2a，
AD=AE=EB=a，
连CE，因为∠ABC=120°，
在△BCE中，可得CE=a，
在△ADE中，可得DE=a，
在△CDE中，因为CD²=CE²+DE²，
所以CE⊥DE，
在正三角形A′DE中，M为DE中点，
所以A′M⊥DE，
由平面A′DE⊥平面BCD，可知A′M⊥平面BCD，A′M⊥CE，
取A′E的中点N，连线NM、NF，
所以NF⊥DE，NF⊥A′M，
因为DE交A′M于M，
所以NF⊥平面A′DE，则∠FMN为直线FM与平面A′DE新成角，
在Rt△FMN中，NF=a，MN=a，FM=a，
则cos，
所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为。