题目内容

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2
3
的菱形，∠BAD=120°且PA⊥面ABCD，PA=2
6
，M，N分别为PB，PD的中点．
（1）证明：MN∥面ABCD；
（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的余弦值．
分析：（1）由M，N分别PB，PD的中点，知MN是△PBD的中位线，此能够证明MN∥平面ABCD．
（2）连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能够求出二面角A-MN-Q的余弦值．
解答：解：（1）∵M，N分别PB，PD的中点，
∴MN是△PBD的中位线，∴MN∥BD，
∵MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．
（2）连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，如图
在菱形ABCD中，∵∠BAD=120°，∴AC=AB=2
3
，BD=
3
AB=6，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC．

在Rt△PAC中，∵AC=2
3
，PA=2
6
，AQ⊥PC，
∴QC=2，PQ=4，
∴A（-
3
，0，0），B（0，-3，0），C（
3
，0，0），D（0，3，0），
P（-
3
，0，2
6
），M（-
3
2
，
3
2
，
6
），N（-
3
2
，
3
2
，
6
），Q（
3
3
，0，
2
6
3
），
设平面AMN的法向量为
m
=(x1，y1，z1)，
由
AM
=(
3
2
，-
3
2
，
6
)，
AN
=(
3
2
，
3
2
，
6
)，
知
3
2
x1-
3
2
y1+
6
z1=0
3
2
x1+
3
2
y1+
6
z1=0
，解得
m
=(2
2
，0，-1)．
设平面QMN的法向量
n
=(x2，y2，z2)，
由
QM
=(-
5
3
6
，-
3
2
，
6
3
)，
QN
=(-
5
3
6
，
3
2
，
6
3
)，
知
-
5
3
6
x2-
3
2
y2+
6
3
z2=0
-
5
3
6
x2+
3
2
y2+
6
3
z2=0
，解得
n
=(2
2
，0，5)，
∴cos＜
m
，
n
＞=
2
2
×2
2
-5
8+1
•
8+25
=
33
33
．
∴二面角A-MN-Q的余弦值为
33
33
．
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法．解题时要认真审题，注意中位线和向量法的合理运用．
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2
，∠PAB=60°．
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