Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为正方形，AD=PD=2，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点．
（1）求证：AP∥平面EFG；
（2）求二面角G-EF-D的大小；
（3）求三棱锥C-PAB的体积．

Answer 1

分析：（1）连接AC，BD交于O点，连接GO，FO，EO，利用中位线定理进行证明可证四边形EFOG是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）取CD中点M，连接OM，EM，则OM∥AD，EM∥PD，可知∠OEM为所求二面角的平面角，在Rt△OME中，求出∠OEM的大小．
（3）利用等体积法可得V_C-PAB=V_P=ABC，从而求解．

解答：解：（1）证法1，连接AC，BD交于O点，连接GO，FO，EO，如图（1）所示：
∵E，F分别为PC，PD的中点，
∴EF∥CD且EF=

1

2

CD，同理GO∥CD且GO=

1

2

CD，
∴EF∥GO且EF=GO，
∴四边形EFOG是平行四边形，
∴EO?平面EFOG，又在△PAC中，
E，0分别为PC，AC的中点，
∴PA∥EO
∵EO?平面EFOG，PA?平面EFOG，∴PA∥平面EFOG，即PA∥平面EFG．（4分）

（2）解法1：取CD中点M，连接OM，EM，则OM∥AD，EM∥PD又
∵PD平面ABCD，AD?面ABCD，
∴PD⊥AD，又∵AD⊥CD
PD∩CD=D，
∴AD⊥平面PCD，
∴OM⊥平面PCD，
∴EM为OE在平面PCD上射影，
∵EM⊥EF，
∴OE⊥EF，
∴∠OEM为所求二面角的平面角，在Rt△OME中，
OM=EM，∴∠OEM=45°．
∴二面角G-EF-D的大小为45°．（5分）
∴二面角G-EF-D的平面角为45°．
（3）V_C-PAB=V_P=ABC=

1

3

×S_ABD×PD=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

．（3分）

点评：此题考查直线与平面平行的判断及平面与平面垂直的夹角问题，第一问的此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，中位线定理也是高考常用的．