Question

已知α,β∈(0,),且sin(α+β)=2sinα,求证:α＜β.

Answer 1

证明:假设α＜β不成立,则α≥β.

(1)若α=β,由sin(α+β)=2sinα?sin2α=2sinα,从而cosα=1,这与α∈(0,)矛盾.

(2)若α＞β,则sinα·cosβ+cosα·sinβ=2sinα,

即cosα·sinβ=sinα(2-cosβ),

.

∵α＞β,∴sinα＞sinβ.

从而＞1,

即cosα＞2-cosβ?cosα+cosβ＞2,这是不可能的,表明α＞β不成立,由(1)(2)知结论成立.