Question

已知向量

m

=(cosx，-sinx)，

n

=(cosx，sinx-2

3

cosx)，x∈R，令f（x）=

m

•

n

，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈(0，

π

2

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据

m

和

n

表示出函数的解析式，进而利用两角和公式和二倍角公式化简整理，进而根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间．
（Ⅱ）根据x的范围确定2x+

π

6

的范围，进而利用正弦定理的单调性求得函数的最大值和最小值，进而求得函数的值域．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos2x-sinx(sinx-2

3

cosx)=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)
∵函数y=sinx的单调增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
（Ⅱ）当x∈(0，

π

2

]时，
∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
即-1≤2sin(2x+

π

6

)≤2
∴函数f（x）的值域为[-1，2]

点评：本题主要考查了正弦函数的单调性，和两角和公式，二倍角公式等的运用．三角函数的基本公式较多，平时应注意多积累．