题目内容

如图，已知椭圆+y2=1上任一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证:|OP|·|OQ|为定值.

证明：设M（2cosφ,sinφ）,φ为参数，B1（0，-1），B2（0，1）.?

则MB1的方程为y+1=x,令y=0,则x=,即|OP|=||.?

MB2的方程为y-1=x,?

∴|OQ|=||.?

∴|OP|·|OQ|=||×||=4，?

即|OP|·|OQ|=4为定值.


练习册系列答案
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精英家教网在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆
x2
9
+
y2
5
=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0．
（1）设动点P满足PF2-PB2=4，求点P的轨迹；
（2）设x1=2，x2=
1
3
，求点T的坐标；
（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．
精英家教网如图，已知椭圆
x24
+y2=1的焦点为F1、F2，点P为椭圆上任意一点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为
 
．
（2012•梅州一模）如图，已知椭圆C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2+y2-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点，且
AP
•
AQ
=0．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
如图，已知椭圆+y2=1上任一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证:|OP|·|OQ|为定值.

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