Question

已知函数f（x）=3sin

x

2

，如果存在实数x₁，x₂，使得对任意的实数x，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）则|x₁-x₂|的最小值为

2π

．

Answer 1

分析：先根据f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）对任意实数x成立，可得x₁、x₂是函数f（x）对应的最大、最小值的x，进而可得|x₁-x₂|一定是

T

2

的整数倍，然后求出函数f（x）的最小正周期为4π，根据|x₁-x₂|=n×

T

2

=2nπ可求出求出最小值．

解答：解：∵f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
∴x₁、x₂是函数f（x）对应的最大、最小值的x，
故|x₁-x₂|一定是

T

2

的整数倍，
∵函数f（x）=3sin

x

2

的最小正周期T=

2π

1 2

=4π，
∴|x₁-x₂|=n×

T

2

=2nπ（n＞0，且n∈Z），
则|x₁-x₂|的最小值为2π．
故答案为：2π

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的最值，是一道基础知识的简单应用题．高考对三角函数的考查以基础题为主，要强化基础知识的夯实．