Question

已知函数f（x）=sinx，将其图象上的每个点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，再将整个图象向左移个单位得到y=g（x）的图象．
（1）写出g（x）的解析式，并求其对称轴方程；
（2）研究上的单调性．

Answer 1

解：（1）把函数f（x）=sinx的图象上的每个点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，得到函数y=sin2x 的图象，
再将整个图象向左移个单位得到y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象．
故 g（x）=sin（2x+），由 2x+=kπ+，k∈z，可得 x=+，k∈z，故对称轴方程为 x=+，k∈z．
（2）∵，∴2x+∈（-，π）．
故当 2x+∈（-，）时，即 x∈（-，）时，函数g（x）为增函数，故函数的增区间为（-，）．
当 2x+∈（，π）时，即 x∈（，）时，函数g（x）为减函数，故函数的减区间为（，）．
分析：（1）根据函数 y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律求出 g（x）的解析式，由此求得对称轴方程．
（2）由 ，可得 2x+∈（-，π），由 2x+∈（-，）求得x的范围，即得函数的增区间．由2x+∈（，π）求得x的范围，即得函数的减区间．
点评：本题主要考查函数 y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．