Question

如图，梯形ABCD中，CD//AB，，E是AB的中点，将沿DE折起，使点A折到点P的位置，且二面角的大小为120°。

（Ⅰ）求证：DE//平面PBC；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求直线PD与平面BCDE所成角的正弦值。

Answer 1

证明：（I）是AB的中点，

，

又且

四边形DCBE是平行四边形，

面PBC，面PBC，

平面PBC。

（Ⅱ）连接EC，据（Ⅰ）知，且CD=AE，

四边形ADCE为平行四边形，

又AD=DC，四边形ADCE是菱形。

连接AC交DE于F，连接PF，

则，，

平面PFC。

又平面PFC，。

（Ⅲ）平面PFC，平面BCDE，

平面平面BCDE，且两平面交于AC，

过点P作于H，则平面BCDE，连接DH，则DH为PD在平面BCDE上的射影，就是直线PD与平面BCDE所成的角。

由（Ⅱ）知，就是二面角的平面角，

。

设，则

在中，

在中，