题目内容

函数f（x）= $数学公式$ 是R上的减函数，则a的取值范围是________．

$\text{[math]}$
分析：由题意可得，当x＜0时，f（x）=（a- $\text{[math]}$ ）x+3a，要使函数f（x）是R上的减函数，应有a- $\text{[math]}$ ＜0，且3a≥a⁰．由此求得a的取值范围．
解答：∵函数f（x）= $\text{[math]}$ 是R上的减函数，
当x＜0时，f（x）=（a- $\text{[math]}$ ）x+3a，x＞0时，f（x）=a^x．
要使函数f（x）是R上的减函数，应有a- $\text{[math]}$ ＜0，且3a≥a⁰．
解得 $\text{[math]}$ ≤a＜ $\text{[math]}$ ，故a的取值范围是 $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查函数的单调性的应用，属于中档题．

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已知下列命题：
①若f（x）为减函数，则-f（x）为增函数；
②若f（0）＜f（4），则函数f（x）不是R上的减函数；
③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
④设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根．
⑤若函数f(x)=

(2-m)x+2m(x＜1)

(m-1)|x+1|(x≥1)

在R上是增函数，则m的取值范围是1＜m＜2；
其中正确命题的序号有

（把所有正确命题的番号都填上）

对于定义在R上的函数f（x），有如下四个命题：
①若f（0）=0，则函数f（x）是奇函数；
②若f（-4）≠f（4），则函数f（x）不是偶函数；
③若f（0）＜f（4），则函数f（x）是R上的增函数；
④若f（0）＜f（4），则函数f（x）不是R上的减函数．
其中正确的命题有

．（写出你认为正确的所有命题的序号）

函数f（x+1）是R上的奇函数，?x₁，x₂∈R，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，则f（1-x）＞0的解集是（　　）

A．（-∞，0）

B．（0，+∞）

C．（-1，1）

D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

（2012•浦东新区二模）已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．
（1）已知函数f（x）=-x²+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；
（2）已知 T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2^x，求实数m的取值范围；
（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．
（Ⅰ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）=x²-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y=f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k，使函数f（x）=coskx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由．

函数f（x-1）是R上的奇函数，?x₁，x₂∈R，（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，则f（1-x）＜0的解集是（　　）

A、（-∞，0）

B、（0，+∞）

C、（-∞，2）

D、（2，+∞）