Question

（本小题满分13分）已知函数

   （I）当0< a < b，且f（a） = f（b）时，求的值；

   （II）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f（x）的定义域为 [a，b]时，值域为 [ma，mb]（m≠0）．求m的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）

【解析】解：（I） ∵

    ∴f（x）在（0，1）上为减函数，在上是增函数．

    由0<a<b，且f（a）=f（b），可得 0<a1<b且．所以．

   （II）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．

    则a>0，m>0．

    当时，由于f（x）在（0，1）上是减函数，故．

    此时得a,b异号，不符合题意，所以a，b不存在．

    当　时，易知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．　故只有．                  ∵在上是增函数，

    ∴        即    a、b是方程的两个根．

    即关于x的方程有两个大于1的实根．设这两个根为，．

    则+=，·=．

    ∴       即  解得   ．