Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，点（a_n，S_n）都在直线2x-y-

1

2

=0上． 
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

4-2n

an

，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由点（a_n，S_n）都在直线2x-y-

1

2

=0上，可得2a_n=S_n+

1

2

，进而可求出数列的首项为

1

2

，且

an

an-1

=2，进而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由bn=

4-2n

an

，利用错位相减法，可求出{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵点（a_n，S_n）都在直线2x-y-

1

2

=0上
∴2a_n=S_n+

1

2

，a_n＞0；                 …（1分）
当n=1时，2a₁=a₁+

1

2

，即a₁=

1

2

，…（2分）
当n≥2时，S_n=2a_n-

1

2

，S_n-1=2a_n-1-

1

2

，
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1，
整理得：

an

an-1

=2
∴数列{a_n}是

1

2

为首项，2为公比的等比数列．…（4分）
a_n=2^n-2                               …（5分）
（2）∵bn=

4-2n

2n-2

=

16-8n

2n

∴T_n=

8

2

+

0

22

+

-8

23

+…+

24-8n

2n-1

+

16-8n

2n

①…（6分）

1

2

T_n=

8

22

+

0

23

+…+

24-8n

2n

+

16-8n

2n+1

②…（7分）
①-②得

1

2

T_n=4-8（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-

16-8n

2n+1

   …（8分）
=4-4（1-

1

2n-1

）-

16-8n

2n+1

=

4n

2n

∴T_n=

8n

2n

  …（10分）

点评：本题考查的知识点求数列的通项公式，数列求和，熟练掌握利用S_n求a_n的方法，及数列求和的方法是解答的关键．