Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量

m

=（b，2a-c），

n

=（cosB，cosC），且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设f（x）=cos（ωx-

B

2

）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，π]上的单调递增，递减区间．

Answer 1

分析：（I）根据向量平行可得：bcosC=（2a-c）cosB，再结合正弦定理可得：sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，整理可得sinA=2sinAcosB，进而得到答案．
（II）由（1）可得：f（x）=

3

sin（ωx+

π

6

），结合题意可得：f（x）=

3

sin（2x+

π

6

），然后结合正弦函数的单调性与函数的定义域即可得到答案．

解答：解：（I）因为

m

∥

n

，并且

m

=（b，2a-c），

n

=（cosB，cosC），
所以bcosC=（2a-c）cosB．
由正弦定理可得：sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，
所以整理可得：sin（B+C）=2sinAcosB，
因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，
所以sinA=2sinAcosB，
所以cosB=

1

2

，
所以B=

π

3

．
 （II）由题意可得：f（x）=cos（ωx-

π

6

）+sinωx=

3

sin（ωx+

π

6

），
因为f（x）的最小正周期为π，
所以ω=2，所以f（x）=

3

sin（2x+

π

6

），
所以函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，
又因为x∈[0，π]，
所以函数f（x）的单调增区间为[0，

π

6

]，[

2π

3

，π]，
所以函数f（x）的单调减区间为[

π

6

，

2π

3

]．

点评：解决此类问题的关键是熟练利用正弦定理求解三角形，以及两角和与差的正弦余弦公式，并且掌握正弦函数的有关性质，此题是一道综合性较强的题型，属于中档题型．