Question

已知函数f(x)=(

1

2x-1

+

1

2

)sinx  (-

π

2

＜x＜

π

2

且x≠0)
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求证f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）根据函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=f（x），可得函数为偶函数．
（2）当0＜x＜

π

2

时，由函数的解析式求得f（x）＞0，当-

π

2

＜x＜0时，由f（x）为偶函数，利用偶函数的性质可得f（x）＞0，从而证得结论．

解答：解：（1）∵f(-x)=(

1

2-x-1

+

1

2

)sin(-x)=-(

1

1 2x -1

+

1

2

)sinx
=-(

2x

1-2x

+

1

2

)sinx=(

2x

2x-1

-

1

2

)sinx=[(1+

1

2x-1

)-

1

2

]sinx=(

1

2x-1

+

1

2

)sinx=f(x)，
∴f（x）是偶函数．
（2）当0＜x＜

π

2

时，2x＞1，  2x-1＞0  ，又sinx＞0   ，   ∴f(x)＞0．
当-

π

2

＜x＜0时，
∵f（x）为偶函数，由上式知f（x）＞0，故f（x）＞0成立．
综上可得，f（x）＞0．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，函数的奇偶性的应用，属于中档题．