Question

21、如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．
求证：DE²=DB•DA．

Answer 1

分析：由切割线定理我们可得，DB•DA等于过D点的⊙O的切线长的DF²，故我们可以转化为证明DE=DF，即∠EFD=∠DEF，连接OF后，我们易得∠OCF=∠OFC，然后根据等角的余角相等得到结论．

解答：证明：连接OF．
因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因为DF是⊙O的切线，所以DF²=DB•DA．所以DE²=DB•DA．（10分）

点评：本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，由证明的结论形式分析证明思路，先分析角的关系，再选取恰当的公式、定理、性质是解答此类问题的关键．