Question

（本小题满分14分）

设是椭圆上的两点，已知向量且，椭圆的离心率短轴长为2，为坐标原点。

    （1）求椭圆的方程；

    （2）若直线AB的斜率存在且直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

Answer 1

解：（1）则，     ………………………………1分

∵，解得………………………………3分

椭圆的方程为  …………………….（4分）

   （2）设AB的方程为

由，①

则，………………………………6分

由已知得，

解得。               ………………………………8分

经验证，时，①式的，符合题意，

因此。                   ………………………………9分

（3）根据题意，当直线AB的斜率不存在，即，时，

由得，即，

有在椭圆上，所以，

所以，，

所以………………………………10分

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，

由，

则，………………………………12分

又，即，则，……………13分

=，

的面积为定值1………………………………14分