Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（一1，1），P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA．

    （I）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，试探究：点M的横坐标是否为定值?并说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设点为所求轨迹上的任意一点，则由得，   2分

整理得轨迹的方程为（且），…4分

（Ⅱ）（方法一）设，

由可知直线，则，

故，即，…………………6分

由三点共线可知，与共线，

∴ ，

由（Ⅰ）知，故，                  8分

同理，由与共线，

∴ ，即，

由（Ⅰ）知，故，                        10分

将，代入上式得，

整理得，

由得，即点M的横坐标为定值．                           12分

（方法二）

设

由可知直线，则，

故，即，             6分

∴直线方程为：   ①；               8分

直线的斜率为：，                    

∴直线方程为：，即  ②；·· 10分

联立①②，得，∴点的横坐标为定值． 12分