题目内容
正数数列{an}的前n项和Sn，满足4Sn=（an+1）2，试求：（1）数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
，数列的前n项的和为Bn，求证：Bn＜
；（3）设cn=an•（
）n，求数列{cn}的前n项和Tn．
【答案】分析：（1）由4Sn=（an+1）2，利用迭代法能求出an=2n-1．
（2）由
=
=
，利用裂项求和法能够证明Bn＜
．
（3）由an=2n-1，知cn=an•（
）n=（2n-1）•（
）n，利用错位相减法能够求出数列{cn}的前n项和Tn．
解答：解：（1）∵4Sn=（an+1）2，
∴4Sn-1=（an-1+1）2，n≥2，
作差，得4（Sn-Sn-1）=（an+1）2-（an-1+1）2，
∴4an=（an+an-1+2）（an-an-1），
整理，得（an+an-1）（an-an-1-2）=0．
∵{an}正数数列，∴an-an-1=2，
由2
=a1+1，得a1=1，
∴an=2n-1．…（4分）
（2）∵
=
=
，
∴数列的前n项的和
Bn=
…+
=
，
故Bn＜
．…（9分）
（3）∵an=2n-1，
∴cn=an•（
）n=（2n-1）•（
）n，
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn
=1
+3•
+5•（
）3+…+（2n-3）•（
）n-1+（2n-1）•（
）n，
Tn=1•
+3•（
）3+5•（
）4…+（2n-3）•（
）n+（2n-1）•（
）n+1，
∴
=
+2•（
）2+2•（
）3+2•（
）4+…+2•（
）n-（2n-1）•（
）n+1
=2×[
+（
）2+（
）3+（
）4+…+（
）n]-
-（2n-1）•（
）n+1
=2×
-
-（2n-1）•（
）n+1
=1-（
）n-
-（2n-1）•（
）n+1
=
-（
）n-（2n-1）•（
）n+1，
∴Tn=1-
-（2n-1）
（
）n+1=1-
．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意迭代法、裂项求和法、错位相减法的合理运用．
（2）由
==，利用裂项求和法能够证明Bn＜．（3）由an=2n-1，知cn=an•（
）n=（2n-1）•（）n，利用错位相减法能够求出数列{cn}的前n项和Tn．解答：解：（1）∵4Sn=（an+1）2，
∴4Sn-1=（an-1+1）2，n≥2，
作差，得4（Sn-Sn-1）=（an+1）2-（an-1+1）2，
∴4an=（an+an-1+2）（an-an-1），
整理，得（an+an-1）（an-an-1-2）=0．
∵{an}正数数列，∴an-an-1=2，
由2
=a1+1，得a1=1，∴an=2n-1．…（4分）
（2）∵
==，∴数列的前n项的和
Bn=
…+=
，故Bn＜
．…（9分）（3）∵an=2n-1，
∴cn=an•（
）n=（2n-1）•（）n，∴Tn=c1+c2+c3+…+cn
=1
+3•+5•（）3+…+（2n-3）•（）n-1+（2n-1）•（）n，Tn=1•+3•（）3+5•（）4…+（2n-3）•（）n+（2n-1）•（）n+1，∴
=+2•（）2+2•（）3+2•（）4+…+2•（）n-（2n-1）•（）n+1=2×[
+（）2+（）3+（）4+…+（）n]--（2n-1）•（）n+1=2×
--（2n-1）•（）n+1=1-（
）n--（2n-1）•（）n+1=
-（）n-（2n-1）•（）n+1，∴Tn=1-
-（2n-1）（）n+1=1-．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意迭代法、裂项求和法、错位相减法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目